I numeri immaginari: l’impossibilità nella realtà diventa possibile altrove

Raffaele Bombelli aveva anche inventato un’altra coppia matematica. Prima di lui esisteva la coppia +1, -1, più e meno. Bombelli ne aveva aggiunta un’altra: più di meno: +sqrt{-1} e meno di meno: -sqrt{-1} . Da allora, l’algebra sarebbe diventata il campo di una partita di doppio, con quattro protagonisti. Dopo aver dettato le regole di quel calcolo allargato, compose una filastrocca per facilitarne la diffusione:

Più di meno via più di meno fa meno. 
Più di meno via meno di meno fa più.
Meno di meno via più di meno fa più. 
Meno di meno via meno di meno fa meno.

Il che equivale a:

sqrt{-1} * sqrt{-1} = -1
sqrt{-1} * ( -sqrt{-1}) = +1
( -sqrt{-1}) * sqrt{-1} = +1
( -sqrt{-1}) * ( -sqrt{-1}) = -1

Era cominciata l’era del calcolo con quelle nuove entità, di cui tutti si guardavano bene dal fornire una definizione, tanto apparivano fittizie. Pure materiali di calcolo, erano utilizzate come semplici intermediari, sommati al tutto a condizione di scomparire senza lasciare traccia del loro passaggio. Un affaruccio, suvvia! Un po’ come nell’arte della prospettiva, inventata proprio nella stessa regione, qualche decennio prima: le rette, dopo che erano servite a tracciare una prospettiva, venivano cancellate con cura, diventando invisibili nella fase finale del dipinto.

Queste entità si dovevano definire numeri? In caso affermativo, non potevano che essere numeri «impossibili». In seguito, Cartesio migliorò la loro condizione: per indicare in quale ordine di realtà si collocava, li definì «immaginari»! Ancora più tardi, una volta ammessa la loro realtà, il matematica tedesco Gauss li considerò semplicemente numeri … «complessi».

Per contrasto, i numeri utilizzati fino a quel momento, positivi o negativi, razionali o irrazionali, furono chiamati numeri «reali». Si dovette attendere Eulero, nel 1777, perché il sulfureo sqrt{-1} fosse rimpiazzato dal simbolo sotto il quale è conosciuto ancor oggi. Infatti pose sqrt{-1} = i, i come immaginario.  […]

Questi nuovi numeri, che andamento avevano? Se volevano meritarsi l’aggettivo che portavano, dovevano essere … più complessi degli altri: per fare un numero complesso, ce ne volevano due reali. Per esempio, con la coppia (2, 3) si costruisce il numero complesso: 2 + 3i . Con la coppia (2, 0) si costruisce il numero complesso 2 + 0i, vale a dire semplicemente 2! Questo implica che un numero reale è un numero complesso particolare. Il cerchio si chiudeva. In definitiva, il percorso compiuto era consistito nell’immergere i numeri «reali» in un insieme più vasto. Si era ampliato l’universo nel quale avevano agito fino a quel momento, al fine di rendere possibile ciò che prima era impossibile. […]

Insomma, si poteva estrarre la radice quadrata di un numero negativo, si o no? La risposta era chiara e duplice.
No! Non si poteva estrarre la radice quadrata di un numero negativo nell’insieme dei numeri reali. Ciò che era impossibile restava impossibile là dov’era possibile.
Si! Era possibile estrarre la radice quadrata di un numero negativo nell’insieme dei numeri complessi.
Insomma, che cos’è ? Secondo i matematici, è «una radice immaginaria dell’unità negativa». Poiché non appartiene all’insieme dei numeri reali, la sua irruzione nell’universo della matematica non introduce nessuna contraddizione in questo insieme.  […]
In certi momenti della storia, alcuni matematici, posti di fronte a un problema che non riescono a risolvere, si trovano costretti a compiere atti illeciti, però lo fanno nel segreto del loro studio. Se vogliono andare oltre, sanno di dover lasciare l’universo nel quale hanno lavorato fino a quel momento. Come Alice, attraversano lo specchio. Là, al riparo dalle leggi in vigore nel mondo che si sono lasciati alle spalle, compiono atti oscuri, ma efficaci, che consentono di sbloccare la situazione. Poi, ripassando lo specchio, forti della loro audacia e arricchiti dalla loro nuova esperienza, procedono, o di persona o tramite i loro successori, ad ampliare l’universo matematico al fine di poter accogliere quei nuovi esseri nati dall’altra parte dello specchio. Si può sempre passare dall’altra parte dello specchio, tra le entità negative, irrazionali, immaginarie, a patto di tornare con le mani piene di meraviglie.
Tuttavia, non esiste la scrittura pure, e questo vale tanto in poesia e in letteratura quanto in matematica. Scrivere l’«impossibile» significa porsi la questione della sua esistenza, autorizzando i tentativi di legittimarlo. In matematica, lo si fa elaborando una teoria in cui quella scrittura, fino a quel momento priva di senso, comincia a rappresentare un oggetto ben definito. E’ sempre possibile definire entità nuove, a una condizione, e cioè che la loro esistenza sia una coesistenza. L’arrivo dei nuovi esseri non deve mettere in pericolo l’esistenza di quelli che esistono già, più di quanto non debba contraddire i risultati già acquisiti. In matematica, le rivoluzioni non si fanno distruggendo i mondi precedenti, che manterranno sempre la loro legittimità e verità; si fanno costruendo dei nuovi universi che o inglobano i precedenti, o si collocano accanto a essi. I nuovi essere non annienteranno mai quelli vecchi; un bell’esempio di coabitazione tra vecchi e neonati.
(da “Il teorema del pappagallo” di  Denis Guedj)
Creative Commons License
This work by Francesco Ficetola is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Based on a work at www.francescoficetola.it.
Permissions beyond the scope of this license may be available at http://www.francescoficetola.it/2012/02/25/797/.

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *


nove − 1 =